căn bậc 2 của 2

By Admin 26/03/2024 0

"Hằng số Pythagoras" gửi hướng về trên đây. Đừng lầm lẫn với Số Pythagoras.

Căn bậc nhị của 2 vị với chừng nhiều năm của cạnh huyền của một tam giác vuông với nhị cạnh lòng vị 1.

Căn bậc nhị của 2, hoặc lũy quá một nửa của 2, được viết lách là √2 hoặc 21⁄2, là số đại số dương sao cho tới khi nhân với chủ yếu nó, cho tới tao số 2. Đúng rộng lớn, nó được gọi là căn bậc nhị số học tập của 2 nhằm phân biệt với số đối của chính nó với đặc thù tương tự động.

Bạn đang xem: căn bậc 2 của 2

Trong hình học tập, căn bậc nhị của 2 là chừng nhiều năm lối chéo cánh của một hình vuông vắn với cạnh nhiều năm 1 đơn vị; bắt đầu từ tấp tểnh lý Pythagoras. Nó có lẽ rằng là số vô tỉ được nghe biết thứ nhất.

Một số hữu tỉ xấp xỉ với căn bậc nhị của nhị với khuôn số nhỏ một vừa hai phải cần là phân số 99/70 (≈ 1.4142857).

Dãy A002193 nhập OEIS bao gồm những chữ số nhập màn biểu diễn thập phân của căn bậc nhị của 2, cho tới 65 chữ số thập phân:

1.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799...

Lịch sử[sửa | sửa mã nguồn]

Bản khu đất sét Babylon YBC 7289 với chú giải. Ngoài việc đã cho chúng ta thấy căn bậc nhị của 2 nhập hệ lục thập phân (1 24 51 10), phiên bản khu đất sét này cũng cho 1 ví dụ nếu như một cạnh của hình vuông vắn là 30 thì lối chéo cánh là 42 25 35. Trong hệ lục thập phân 30 rất có thể là 0 30 = 1/2, còn 0 42 25 35 xấp xỉ vị 0.7071065.

Bảng khu đất sét Babylon YBC 7289 (khoảng 1800–1600 TCN) cho 1 xấp xỉ của √2 nhập tứ chữ số lục thập phân, 1 24 51 10, trúng cho tới khoảng chừng sáu chữ số thập phân,[1] và là xấp xỉ lục thập phân cực tốt của √2 người sử dụng 4 chữ số:

Một xấp xỉ nguyên sơ không giống xuất hiện nay nhập văn khiếu nại toán học tập của nén Độ thượng cổ, quyển Sulbasutras (khoảng 800–200 BC) như sau: Tăng chừng nhiều năm [của cạnh] vị một trong những phần tía chủ yếu nó và một trong những phần tư của một trong những phần tía và giảm xuống một trong những phần tía mươi tư của một trong những phần tư cơ.[2] Tức là,

Các môn vật dụng của Pythagoras trị hiện nay rằng lối chéo cánh của hình vuông vắn và cạnh của chính nó là ko thể sánh được, hoặc theo đuổi ngôn từ tiến bộ, căn bậc nhị của 2 là một vài vô tỉ. Không nhiều điều được hiểu rõ về thời hạn hoặc tình cảnh của tìm hiểu này, tuy nhiên cái brand name thông thường được nhắc tới là Hippasus của Metapontum. Các môn vật dụng Pythagoras coi tính vô tỉ của căn bậc nhị của 2 là 1 trong kín đáo, và theo đuổi câu nói. kể, Hippasus đã trở nên giết thịt vì thế bật mý nó.[3][4][5] Căn bậc nhị của 2 nhiều khi còn được gọi là số Pythagoras hoặc hằng số Pythagoras, như nhập Conway & Guy (1996).[6]

Thuật toán tính toán[sửa | sửa mã nguồn]

Có một vài thuật toán nhằm xấp xỉ √2, thông thường là bên dưới dạng tỉ số của nhị số vẹn toàn hoặc một vài thập phân. Thuật toán phổ cập nhất cho tới việc này, được sử dụng thực hiện hạ tầng trong tương đối nhiều PC và PC thu về, là cách thức Babylon[7], một trong mỗi cách thức tính căn bậc nhị. Thuật toán này như sau:

Đầu tiên, đoán một vài a0 > 0 bất kì. Sau cơ, người sử dụng số một vừa hai phải đoán, tính từng số hạng theo đuổi công thức truy hồi sau:

Càng rất nhiều lần tiến hành luật lệ tính bên trên (tức là rất nhiều lần tái diễn và số "n" càng lớn), cho tới tao xấp xỉ càng chất lượng tốt của căn bậc nhị của 2. Mỗi đợt tính cho tới tao khoảng chừng gấp hai số chữ số trúng. Bắt đầu với a0 = 1 những số tiếp sau là

  • 3/2 = 1.5
  • 17/12 = 1.416...
  • 577/408 = 1.414215...
  • 665857/470832 = 1.4142135623746...

Giá trị của √2 được xem cho tới 137.438.953.444 chữ số thập phân vị team của Yasumasa Kanada năm 1997. Tháng hai năm 2006, kỉ lục cho tới việc tính √2 bị đánh tan dùng một cái máy tính cá thể. Shigeru Kondo tính 1 ngàn tỷ chữ số thập phân của căn bậc nhị của 2 nhập năm 2010.[8] Trong số những hằng số toán học tập với màn biểu diễn thập phân cần thiết nhiều khoáng sản đo lường, chỉ mất π là được xem đúng mực rộng lớn.[9] Những đo lường như thế đa số là nhằm đánh giá vị thực nghiệm coi những số cơ liệu có phải là thông thường hay là không.

Xấp xỉ hữu tỉ[sửa | sửa mã nguồn]

Một xấp xỉ hữu tỉ đơn giản và giản dị 99/70 (≈ 1.4142857) thông thường được dùng. Mặc dù là khuôn số đơn thuần 70, chừng sai chéo của chính nó với độ quý hiếm thực sự thấp hơn 1/10,000 (khoảng +072×10−4). Do nó là 1 trong giản phân của màn biểu diễn liên phân số của căn bậc nhị của 2, bất kì xấp xỉ hữu tỉ nào là ngay sát rộng lớn cần với khuôn số ko bé nhiều hơn 169, vì thế 239/169 (≈ 1.4142012) là giản phân tiếp sau với sai số khoảng chừng −012×10−4.

Xấp xỉ hữu tỉ 665857/470832, kể từ bước loại tứ nhập cách thức Babylon phía trên chính thức với a0 = 1, với sai số khoảng chừng 16×10−12: bình phương của chính nó là 20000000000045…

Kỉ lục[sửa | sửa mã nguồn]

Đây là bảng những kỉ lục thời gian gần đây trong công việc tính những chữ số của √2 (1 ngàn tỉ = 1012 = một triệu.000.000).

Ngày Tên Số chữ số
28 mon 6 năm 2016 Ron Watkins 10 ngàn tỷ
3 tháng tư năm 2016 Ron Watkins 5 ngàn tỷ
9 mon hai năm 2012 Alexander Yee 2 ngàn tỷ
22 mon 3 năm 2010 Shigeru Kondo 1 ngàn tỷ
Nguồn:[10]

Chứng minh tính vô tỉ[sửa | sửa mã nguồn]

Một chứng tỏ cộc về tính chất vô tỉ của √2 dùng tấp tểnh lý nghiệm hữu tỉ, tuyên bố rằng nếu như P(x) là 1 trong nhiều thức monic với thông số vẹn toàn, thì bất kì nghiệm hữu tỉ nào là của P(x) cũng chính là một vài vẹn toàn. sát dụng tấp tểnh lý cho tới nhiều thức P(x) = x2 − 2, tao suy đi ra √2 hoặc là số vẹn toàn hoặc là số vô tỉ. Vì 1<√2<2 nên nó ko là một vài vẹn toàn, vì thế √2 là một vài vô tỉ. Chứng minh này rất có thể tổng quát: căn bậc nhị của bất kì số đương nhiên nào là ko cần số chủ yếu phương là một vài vô tỉ.

Xem số vô tỉ bậc nhị hoặc lùi vô hạn cho tới chứng tỏ rằng căn bậc nhị của bất kì số đương nhiên ko cần số chủ yếu phương nào thì cũng là vô tỉ.

Chứng minh vị lùi vô hạn[sửa | sửa mã nguồn]

Một trong mỗi chứng tỏ phổ cập nhất dùng cách thức lùi vô hạn. Đây cũng chính là chứng tỏ vị phản triệu chứng, nhập cơ mệnh đề cần thiết chứng tỏ được fake sử là sai rồi suy đi ra fake sử này sẽ không thể xẩy ra, tức mệnh đề cần thiết chứng tỏ là trúng.

  1. Giả sử √2 là một vài hữu tỉ, tức √2 rất có thể viết lách bên dưới dạng một phân số tối giản a/b, nhập cơ a và b yếu tắc bên cạnh nhau.
  2. Ta suy đi ra a2/b2 = 2 và a2 = 2b2.   (a2 và b2 là những số nguyên)
  3. Do cơ a2 là số chẵn, nên a cũng chính là số chẵn, tức tồn bên trên số vẹn toàn k sao cho tới a = 2k.
  4. Thay 2k cho tới a nhập đẳng thức ở bước 2: 2b2 = (2k)2 tao được b2 = 2k2.
  5. Lập luận như bước 3, tao được b2 là số chẵn, nên b là số chẵn.
  6. Như vậy cả a và b đều là số chẵn, trái khoáy với fake thiết rằng a và b là nhị số yếu tắc bên cạnh nhau.

Vì tao suy đi ra được một điều vô lý, fake sử (1) rằng √2 là số hữu tỉ là sai. Tức là, √2 cần là một vài vô tỉ.

Chứng minh này được khêu ý vị Aristotle, nhập cuốn Analytica Priora, §I.23.[11] Chứng minh hoàn hảo thứ nhất xuất hiện nay nhập cỗ Cửa hàng của Euclid, là mệnh đề 117 của Quyển X. Tuy nhiên, từ trên đầu thế kỷ 19 nhiều sử gia nhận định rằng chứng tỏ này sẽ không ở trong phiên bản thảo gốc và vì thế ko thể nghĩ rằng của Euclid.[12]

Chứng minh hình học[sửa | sửa mã nguồn]

Hình 1. Chứng minh hình học tập của Stanley Tennenbaum cho tới tính vô tỉ của √2.

Một màn biểu diễn hình học tập của chứng tỏ bên trên được John Horton Conway nghĩ rằng của Stanley Tennenbaum khi ông còn là một học viên đầu những năm 1950[13] và đợt xuất hiện nay thời gian gần đây nhất là nhập một bài xích báo vị Noson Yanofsky nhập tập san American Scientist số mon 5-6 năm nhâm thìn.[14] Cho nhị hình vuông vắn với cạnh là số vẹn toàn a và b, nhập cơ một chiếc với diện tích S gấp hai khuôn cơ, bịa đặt nhị hình vuông vắn nhỏ nhập hình vuông vắn rộng lớn như nhập hình 1. Phần uỷ thác nhau ở thân thuộc với diện tích S ((2b − a)2) cần vị tổng diện tích S của nhị hình vuông vắn nhỏ ko được bao phủ phủ (2(a − b)2). Như vậy tao chiếm được nhị hình vuông vắn nhỏ rộng lớn những hình vuông vắn lúc đầu và diện tích S đặc điểm này gấp hai khuôn cơ. Lặp lại quy trình này tao rất có thể thu nhỏ những hình vuông vắn tùy ý, tuy nhiên điều này là vô nguyên do bọn chúng cần với cạnh là số vẹn toàn dương, tức to hơn hoặc vị 1.

Hình 2. Chứng minh hình học tập của Tom Apostol cho tới tính vô tỉ của √2.

Một chứng tỏ hình học tập dùng phản triệu chứng không giống xuất hiện nay năm 2000 nhập tập luyện san American Mathematical Monthly.[15] Nó cũng là 1 trong chứng tỏ dùng cách thức lùi vô hạn, đôi khi dùng luật lệ dựng hình vị thước kẻ và compa và đã được biết kể từ thời Hy Lạp thượng cổ.

Lấy △ABC vuông cân nặng với cạnh huyền m và cạnh mặt mày n như nhập Hình 2. Theo tấp tểnh lý Pythagoras, m/n = √2. Giả sử m và n là những số vẹn toàn và m:n là phân số tối giản

Vẽ những cung BD và CE với tâm A. Nối DE hạn chế BC bên trên F. Dễ thấy, nhị tam giác ABC và ADE đều bằng nhau theo đuổi cạnh-góc-cạnh.

Ngoài đi ra tao cũng thấy △BEF là tam giác vuông cân nặng. Do cơ BE = BF = m − n. Theo tính đối xứng, DF = m − n, và △FDC cũng chính là tam giác vuông cân nặng. Ta suy đi ra FC = n − (m − n) = 2n − m.

Như vậy tao với 1 tam giác vuông cân nặng nhỏ rộng lớn với cạnh huyền 2n − m và cạnh mặt mày m − n. Chúng nhỏ rộng lớn m và n tuy vậy với nằm trong tỉ trọng, trái khoáy với fake thiết là m:n là tối giản. Do cơ, m và n ko thể nằm trong là số vẹn toàn, nên √2.

Chứng minh trực tiếp[sửa | sửa mã nguồn]

Một phía cút không giống mang tính chất thi công là thiết lập 1 vách ngăn bên dưới cho tới hiệu của √2 và một vài hữu tỉ bất kì. Với nhị số vẹn toàn dương a và b, số nón trúng của 2 (tức số nón của 2 nhập khai triển đi ra quá số vẹn toàn tố) của a2 là chẵn, còn của 2b2 là lẻ, nên bọn chúng là những số vẹn toàn không giống nhau; vì thế | 2b2 − a2 | ≥ 1 với từng a, b vẹn toàn dương. Khi đó[16]

Xem thêm: bài văn tả doraemon lớp 3

bất đẳng thức cuối trúng vì thế tao fake sử a/b ≤ 3 − √2 (nếu ko thì hiệu bên trên phân minh to hơn 3 − 2√2 > 0). Bất đẳng thức này cho tới tao ngăn bên dưới 1/3b2 của hiệu | √2 − a/b |, kể từ cơ kéo đến chứng tỏ tính vô tỉ thẳng nhưng mà ko cần thiết fake sử phản triệu chứng. Chứng minh này cho rằng tồn bên trên một khoảng cách thân thuộc √2 và ngẫu nhiên số hữu tỉ nào là.

Tính hóa học của căn bậc nhị của 2[sửa | sửa mã nguồn]

Một nửa của √2, đôi khi cũng chính là nghịch tặc hòn đảo của √2, xấp xỉ vị 0.707106781186548, là 1 trong độ quý hiếm thông thường bắt gặp nhập hình học tập và lượng giác vì thế vectơ đơn vị chức năng tạo ra góc 45° với những trục thì với tọa độ

Số này thỏa mãn

Một độ quý hiếm với tương quan là tỷ trọng bạc. Hai số dương a, b với tỷ lệ bạc δS nếu

.

Bằng cơ hội thay đổi về phương trình bậc nhị, tao rất có thể giải được δS = 1 + √2.

√2 rất có thể được màn biểu diễn theo đuổi đơn vị chức năng ảo i chỉ dùng căn bậc nhị và những luật lệ toán số học:

nếu ký hiệu căn bậc nhị được khái niệm phải chăng cho tới số phức i và −i.

√2 cũng chính là số thực độc nhất không giống 1 nhưng mà tetration vô hạn đợt vị với bình phương của chính nó. Một cơ hội tuyên bố ngặt nghèo như sau: nếu như với số thực c > 1 tao khái niệm x1 = c và xn+1 = cxn với n > 1, thì số lượng giới hạn của xn khi n → ∞ (nếu tồn tại) gọi là f(c). Khi ấy √2 là số c > 1 độc nhất thỏa f(c) = c2. Hay phát biểu cơ hội khác:

√2 cũng xuất hiện nay nhập công thức Viète cho tới π:

với m vệt căn và trúng một vệt trừ.[17]

Ngoài đi ra, √2 còn xuất hiện nay trong tương đối nhiều hằng con số giác:[18]

Hiện vẫn không biết liệu √2 liệu có phải là số chuẩn chỉnh, một đặc thù mạnh rộng lớn tính vô tỉ, tuy nhiên phân tách tổng hợp màn biểu diễn của chính nó nhập hệ nhị phân đã cho chúng ta thấy với năng lực nó chuẩn chỉnh nhập hệ cơ số nhị.[19]

Biểu biểu diễn chuỗi[sửa | sửa mã nguồn]

Hệ thức cos π/4 = sin π/4 = 1/√2, cùng theo với những màn biểu diễn tích vô hạn của sin và cosin cho tới ta

và

hoặc tương tự,

Ngoài đi ra tao rất có thể người sử dụng chuỗi Taylor của những dung lượng giác. Ví dụ, chuỗi Taylor cho tới cos π/4 cho tới ta

Chuỗi Taylor cho tới √1 + x với x = 1 cùng theo với giai quá kép n!! cho tới ta

Sử dụng thay đổi Euler nhằm đẩy mạnh vận tốc quy tụ của sản phẩm, tao được

Một công thức dạng BBP cho tới √2 vẫn không được mò mẫm đi ra, tuy vậy tiếp tục với những công thức dạng BBP cho tới π√2 và √2ln(1+√2).[20]

√2 rất có thể màn biểu diễn vị phân số Ai Cập, với khuôn số vị những số hạng loại 2n của một sản phẩm hồi quy tuyến tính tương tự sản phẩm Fibonacci. Đặt a0 = 0, a1 = 6, an = 34an − 1 − an − 2[21]

Liên phân số[sửa | sửa mã nguồn]

Xấp xỉ căn bậc nhị của 2 vị sản phẩm giản phân.

Căn bậc nhị của 2 với màn biểu diễn vị liên phân số sau:

Những giản phân thứ nhất là: 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70, 239/169, 577/408. Giản phân p/q cơ hội √2 một khoảng chừng ngay sát vị 1/2q2√2[cần dẫn nguồn] và giản phân tiếp sau là p + 2q/p + q.

Bình phương lồng nhau[sửa | sửa mã nguồn]

Biểu thức tại đây quy tụ về √2:

Hằng số liên quan[sửa | sửa mã nguồn]

Nghịch hòn đảo của căn bậc nhị của 2 (căn bậc nhị của 1/2) là 1 trong hằng số thông thường người sử dụng.

Xem thêm: đất nước ngàn năm không mỏi cánh tay cung

(dãy số A010503 nhập bảng OEIS)

Khổ giấy[sửa | sửa mã nguồn]

Năm 1786, GS vật lý cơ người Đức Georg Lichtenberg[22] trị hiện nay rằng ngẫu nhiên tờ giấy tờ nào là với cạnh nhiều năm dài cấp √2 đợt cạnh cộc rất có thể được gấp hai sẽ tạo trở thành một tờ giấy tờ mới mẻ với tỉ trọng y hệt tờ lúc đầu. Tỉ lệ giấy tờ này bảo đảm an toàn rằng hạn chế giấy tờ trở thành nhị nửa đã tạo ra những tờ giấy tờ nhỏ rộng lớn nằm trong tỉ trọng. Khi Đức chuẩn chỉnh hóa khung giấy nhập thời điểm đầu thế kỷ trăng tròn, chúng ta người sử dụng tỉ trọng của Lichtenberg sẽ tạo trở thành giấy tờ đau khổ "A".[22] Hiện ni, tỉ trọng sườn hình (xấp xỉ) của khung giấy theo đuổi chi chuẩn chỉnh ISO 216 (A4, A0, vân vân) là 1:√2.

Chứng minh:
Gọi cạnh cộc và cạnh nhiều năm của tờ giấy tờ, với

theo đuổi ISO 216.

Gọi là tỉ số của 1/2 tờ giấy tờ thì

.

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

  • Căn bậc nhị của 3
  • Căn bậc nhị của 5
  • Tỷ lệ bạc, 1 + √2
  • Căn bậc nhị của 2 tạo hình nhập mối liên hệ trong số những f-stop của thấu kính máy hình họa, kéo đến tỉ trọng diện tích thân thuộc nhị khẩu chừng tiếp tục là 2.
  • Hằng số Gelfond–Schneider, 2√2.
  • Công thức Viète cho tới pi

Ghi chú[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ Fowler và Robson, trang 368.
    Photograph, illustration, and mô tả tìm kiếm of the root(2) tablet from the Yale Babylonian Collection Lưu trữ 2012-08-13 bên trên Wayback Machine
    High resolution photographs, descriptions, and analysis of the root(2) tablet (YBC 7289) from the Yale Babylonian Collection
  2. ^ Henderson.
  3. ^ Stephanie J. Morris, "The Pythagorean Theorem" Lưu trữ 2013-05-30 bên trên Wayback Machine, Khoa Sư phạm Toán, Đại học tập Georgia.
  4. ^ Brian Clegg, "The Dangerous Ratio..." Lưu trữ 2013-06-27 bên trên Wayback Machine, Nrich.org, mon 11 2004.
  5. ^ Kurt von Fritz, "The discovery of incommensurability by Hippasus of Metapontum", Annals of Mathematics, 1945.
  6. ^ Conway, John H.; Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers, Copernicus, tr. 25
  7. ^ Mặc cho dù ngày này cụm kể từ "phương pháp Babylon" được sử dụng khá phổ cập, không tồn tại minh chứng thẳng nào là đã cho chúng ta thấy cơ hội người Babylon tính xấp xỉ √2 bên trên phiên bản khu đất sét YBC 7289. Fowler và Robson khuyến cáo một vài fake thiết.
    Fowler và Robson, p. 376. Flannery, p. 32, 158.
  8. ^ “Constants and Records of Computation”. Numbers.computation.free.fr. ngày 12 mon 8 năm 2010. Bản gốc tàng trữ ngày một mon 3 năm 2012. Truy cập ngày 7 mon 9 năm 2012.
  9. ^ “Number of known digits”. Numbers.computation.free.fr. ngày 12 mon 8 năm 2010. Bản gốc tàng trữ ngày một mon 3 năm 2012. Truy cập ngày 7 mon 9 năm 2012.
  10. ^ “Records Set by y-cruncher”. Bản gốc tàng trữ ngày trăng tròn mon 10 năm 2015. Truy cập ngày 3 mon 10 năm 2019.
  11. ^ Trong khi viết lách về triệu chứng mihn vị phản triệu chứng, Aristotle nói: "đường chéo cánh của hình vuông vắn là ko thể sánh được với cạnh của chính nó, cũng chính vì số lẻ tiếp tục thông qua số chẵn nếu như bọn chúng sánh được với nhau".
  12. ^ Phiên phiên bản giờ đồng hồ Hy Lạp của cục Cơ sở xuất phiên bản vị E. F. August bên trên Berlin nhập 1826–1829 đem chứng tỏ này nhập phần Phụ lục. Điều tương tự động xẩy ra với phiên phiên bản của sử gia J. L. Heiberg (1883–1888).
  13. ^ Proof 8‴ Lưu trữ 2016-04-22 bên trên Wayback Machine
  14. ^ Yanofsky, N. (2016). “Paradoxes, Contradictions, and the Limits of Science”. Bản gốc tàng trữ ngày 30 mon 6 năm năm nhâm thìn.
  15. ^ Tom M. Apostol (tháng 11 năm 2000), “Irrationality of The Square Root of Two -- A Geometric Proof”, The American Mathematical Monthly, 107 (9): 841–842, doi:10.2307/2695741
  16. ^ Katz, Karin Usadi; Katz, Mikhail G. (2011), “Meaning in Classical Mathematics: Is it at Odds with Intuitionism?”, Intellectica, 56 (2): 223–302 (Mục 2.3, chú giải 15), arXiv:1110.5456, Bibcode:2011arXiv1110.5456U
  17. ^ Courant, Richard; Robbins, Herbert (1941), What is mathematics? An Elementary Approach lớn Ideas and Methods, London: Oxford University Press, tr. 124
  18. ^ Julian D. A. Wiseman Sin and cos in surds Lưu trữ 2009-05-06 bên trên Wayback Machine
  19. ^ Good & Gover (1967).
  20. ^ “Archived copy” (PDF). Bản gốc (PDF) tàng trữ ngày 10 mon 6 năm 2011. Truy cập ngày 30 tháng tư năm 2010.Quản lý CS1: phiên bản tàng trữ là title (liên kết)
  21. ^ “Sloane's A082405”. Bảng tra cứu vãn sản phẩm số vẹn toàn trực tuyến. Tổ chức OEIS.
  22. ^ a b Houston, Keith (2016). The Book: A Cover-to-Cover Exploration of the Most Powerful Object of Our Time. W. W. Norton & Company. tr. 324. ISBN 0393244806.

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

  • Apostol, Tom M. (2000), “Irrationality of square root of 2 – A geometric proof”, American Mathematical Monthly, 107 (9): 841–842, doi:10.2307/2695741, JSTOR 2695741.
  • Aristotle (2007), Analytica priora, eBooks@Adelaide
  • Bishop, Errett (1985), Schizophrenia in contemporary mathematics. Errett Bishop: reflections on him and his research (San Diego, Calif., 1983), 1–32, Contemp. Math. 39, Amer. Math. Soc., Providence, RI.
  • Flannery, David (2005), The Square Root of Two, Springer-Verlag, ISBN 0-387-20220-X.
  • Fowler, David; Robson, Eleanor (1998), “Square Root Approximations in Old Babylonian Mathematics: YBC 7289 in Context” (PDF), Historia Mathematica, 25 (4): 366–378, doi:10.1006/hmat.1998.2209, Bản gốc (PDF) tàng trữ ngày 3 mon 9 năm 2006.
  • Good, I. J.; Gover, T. N. (1967), “The generalized serial test and the binary expansion of √2”, Journal of the Royal Statistical Society, Series A, 130 (1): 102–107, doi:10.2307/2344040, JSTOR 2344040.
  • Henderson, David W. (2000), “Square roots in the Śulba Sūtras”, nhập Gorini, Catherine A. (biên tập), Geometry At Work: Papers in Applied Geometry, Cambridge University Press, tr. 39–45, ISBN 978-0-88385-164-7.

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]

  • Gourdon, X.; Sebah, Phường. (2001), “Pythagoras' Constant: √2”, Numbers, Constants and Computation.
  • Weisstein, Eric W., "Pythagoras's Constant" kể từ MathWorld.
  • Căn bậc nhị của Hai cho tới 5 triệu chữ số vị Jerry Bonnell và Robert J. Nemiroff. Tháng 5, 1994.
  • Căn bậc nhị của 2 là vô tỉ, một tuyển chọn tập luyện những triệu chứng minh
  • Grime, James; Bowley, Roger. “The Square Root √2 of Two”. Numberphile. Brady Haran. Bản gốc tàng trữ ngày 22 mon 5 năm 2017. Truy cập ngày 19 mon 12 năm 2019.