Căn bậc hai của 3

Bách khoa toàn thư hé Wikipedia

Căn bậc nhị của 3 là một trong những thực dương sao cho tới khi nhân với chủ yếu nó thì tạo ra số 3. Chính xác rộng lớn, nó được gọi là căn bậc nhị số học tập của 3, nhằm phân biệt với số tâm sở hữu nằm trong đặc thù. Nó được kí hiệu là √3 hoặc 3^¹⁄₂.

Bạn đang xem: căn bậc 2 của 3

Căn bậc nhị của 3 là một trong những vô tỉ. Nó còn được biết là hằng số Theodorus, mệnh danh theo dõi Theodorus xứ Cyrene, người đang được chứng tỏ tính vô tỉ của chính nó.

Sáu mươi chữ số trước tiên nhập màn trình diễn thập phân của chính nó là:

1.73205080756887729352744634150587236694280525381038062805580… (dãy số A002194 nhập bảng OEIS)

Thuật toán tính toán[sửa | sửa mã nguồn]

Có một trong những phương pháp để xấp xỉ độ quý hiếm của √3. Thuật toán thông thường được sử dụng trong số PC cá thể và PC tiếp thu là cách thức Babylon nhằm tính căn bậc nhị của một trong những. Các bước tổ chức như sau:

Lấy một trong những a₀ > 0 bất kì thực hiện độ quý hiếm ban sơ (càng sát √3 càng tốt)
Tính từng số hạng theo dõi công thức truy hồi sau:

Lặp lại bước 2 cho tới khi đạt được chừng đúng chuẩn quan trọng.

Dãy (a_n) bên trên là sản phẩm quy tụ bậc nhị, tức từng lượt tính cho tới tao khoảng chừng gấp hai số chữ số thập phân đích. Bắt đầu với a₀ = 1 cho tới tao những xấp xỉ:

a₁ = 7/4 = 1.75
a₂ = 97/56 = 1.73214...
a₃ = 18817/10864 = 1.73205081...
a₄ = 708158977/408855776 = 1.732050807568877295...

Tháng 12 năm trước đó, độ quý hiếm của √3 đang được được xem cho tới tối thiểu mươi tỉ chữ số thập phân.^[1]

Xấp xỉ hữu tỉ[sửa | sửa mã nguồn]

Phân số 97/56 (1732142857…) rất có thể được sử dụng thực hiện xấp xỉ cho tới căn bậc nhị của 3. Tuy chỉ mất khuôn số 56, nó chỉ đứt quãng độ quý hiếm đích thấp hơn 1/10,000 (khoảng 92×10⁻⁵). Giá trị thực hiện tròn trĩnh 1.732 đích cho tới 99.99% độ quý hiếm thực.

Archimedes xác định rằng (1351/780)²
> 3 > (265/153)²
,^[2] theo lần lượt với sai số là 1/608400 (sáu chữ số thập phân) và 2/23409 (bốn chữ số thập phân).

Liên phân số[sửa | sửa mã nguồn]

√3 rất có thể được màn trình diễn bởi vì phân số liên tiếp [1;1,2,1,2,1,2,1,…] (dãy số A040001 nhập bảng OEIS), tức là

Theo đặc thù của liên phân số thì nếu

thì khi n 🡒 ∞

Xem thêm: bài văn tả doraemon lớp 3

Ngoài đi ra cũng rất có thể biễu thao diễn bên dưới dạng liên phân số tổng quát tháo như

thực hóa học là [1;1,2,1,2,1,2,1,…] tính nhị số hạng đồng thời.

Biểu thao diễn bình phương[sửa | sửa mã nguồn]

Biểu thức bình phương lồng nhau sau tiến thủ về √3:

Chứng minh tính vô tỉ[sửa | sửa mã nguồn]

Chứng minh bởi vì lùi vô hạn[sửa | sửa mã nguồn]

Chứng minh thông thường được sử dụng cho tới tính vô tỉ của √3 dùng cách thức lùi vô hạn của Fermat. Phương pháp này rất có thể được vận dụng cho tới bất kì số vẹn toàn này ko cần là số chủ yếu phương.

Giả sử √3 là một trong những hữu tỉ, tức √3 rất có thể ghi chép bên dưới dạng một phân số tối giản a/b, nhập tê liệt a và b thành phần bên nhau.
Ta suy đi ra a²/b² = 3 hoặc a² = 3b². (a² và b² là những số nguyên)
Do tê liệt a² phân chia không còn cho tới 3, nên a cũng phân chia không còn cho tới 3, tức tồn bên trên số vẹn toàn k sao cho tới a = 3k.
Thay 3k cho tới a nhập đẳng thức ở bước 2: 3b² = (3k)² tao được b² = 3k².
Lập luận như bước 3, tao được b² là số phân chia không còn cho tới 3, nên b cũng phân chia không còn cho tới 3.
Như vậy cả a và b đều phân chia không còn cho tới 3, nên bọn chúng sở hữu một ước công cộng là 3, ngược với fake thiết rằng a và b là nhị số thành phần bên nhau.

Chứng minh bởi vì tấp tểnh lý nghiệm hữu tỉ[sửa | sửa mã nguồn]

Một chứng tỏ không giống cho tới tính vô tỉ của √3 là dùng một tình huống quan trọng đặc biệt của tấp tểnh lý nghiệm hữu tỉ, tuyên bố rằng nếu như P(x) là 1 nhiều thức monic (tức nhiều thức sở hữu thông số bậc tối đa bởi vì 1) với thông số vẹn toàn, thì bất kì nghiệm hữu tỉ này của P(x) cũng chính là một trong những vẹn toàn. kề dụng tấp tểnh lý cho tới nhiều thức P(x) = x² − 2, tao suy đi ra √3 hoặc là số vẹn toàn hoặc là số vô tỉ. Vì 1 < √3 < 2 nên nó ko là một trong những vẹn toàn, vì thế √3 là một trong những vô tỉ.

Hình học tập và lượng giác[sửa | sửa mã nguồn]

√3 là chừng nhiều năm cạnh của một tam giác đều nội tiếp lối tròn trĩnh sở hữu nửa đường kính bởi vì 1. Tương tự động, nếu như một tam giác đều sở hữu cạnh 1 bị chia thành nhị nửa đều nhau, từng nửa là 1 tam giác vuông 30-60-90 với cạnh huyền bởi vì 1, cạnh góc vuông là 1/2 và √3/2. Từ tê liệt tao suy đi ra giá tốt trị những hàm con số giác của 60° và 30°.

Xem thêm: học phí đại học tài chính marketing

Căn bậc nhị của 3 cũng xuất hiện tại nhập biểu thức đại số của đa số hằng con số giác như^[3]

Ngoài đi ra √3 còn là một khoảng cách thân thiết nhị cạnh đối nhau của hình lục giác đều sở hữu cạnh 1, Hay là lối chéo cánh của hình lập phương đơn vị chức năng.

Ứng dụng khác[sửa | sửa mã nguồn]

Kỹ thuật điện[sửa | sửa mã nguồn]

Trong năng lượng điện lực, hiệu năng lượng điện thế thân thiết nhị chạc trộn (điện áp dây) nhập khối hệ thống năng lượng điện phụ thân trộn bởi vì √3 nhân hiệu năng lượng điện thế của thân thiết một chạc trộn và chạc hòa hợp (điện áp pha). Đây là vì nhị trộn cách nhau chừng 120°, và nhị điểm cách nhau chừng 120 chừng bên trên lối tròn trĩnh thì sở hữu khoảng cách bởi vì √3 nhân nửa đường kính lối tròn trĩnh tê liệt.

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Căn bậc nhị của 2
Căn bậc nhị của 5

Ghi chú[sửa | sửa mã nguồn]

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

S., D.; Jones, M. F. (1968). “22900D approximations to tát the square roots of the primes less than vãn 100”. Mathematics of Computation. 22 (101): 234–235. doi:10.2307/2004806. JSTOR 2004806.
Uhler, H. S. (1951). “Approximations exceeding 1300 decimals for √3, 1/√3, sin(π/3) and distribution of digits in them”. Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 37 (7): 443–447. doi:10.1073/pnas.37.7.443. PMC 1063398. PMID 16578382.
Wells, D. (1997). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers . London: Penguin Group. tr. 23.